Supplemental material for the paper “Dipolar Bose-Einstein Condensates in Weak Anisotropic Disorder” by B. Nikolić, A. Balaž, and A. Pelster, Phys. Rev. A 88, 013624 (2013)

Analytic expressions for condensate depletion and disorder corrections to the chemical potential, the superfluid density, and the sound velocity for a general case of a Bose-Einstein condensate with both contact and dipole-dipole interaction in an anisotropic, cylindrically symmetric Lorentzian-correlated disorder.

The expressions are given in terms of the ratio of the dipole-dipole and the contact interaction (ϵ), and disorder correlation lengths (zz and zρ). All disorder corrections are rescaled to dimensionless units.

Auxiliary functions T, A, B

T[x_]:=ArcTan[Sqrt[x]]/Sqrt[x]
A[x_,y_]:=T[x+Sqrt[y]]+T[x-Sqrt[y]]
B[x_,y_]:=Sqrt[y]( T[x+Sqrt[y]]-T[x-Sqrt[y]])

Condensate depletion (Subscript[Δ, n0])

(Subscript[Δ, n0])[ϵ_, zz_, zρ_] := (((zρ)^4) (Sqrt[1+2 ϵ]) (-1+4 ϵ)-(zz^4) (Sqrt[1+2 ϵ]) (1+5 ϵ+3 ((zρ)^2) (-1+ϵ) ϵ)+(zz^5) (1+ϵ-2 (ϵ^2))+(zz^2) ((zρ)^2) (Sqrt[1+2 ϵ]) (2+ϵ-3 ((zρ)^2) ϵ (1+2 ϵ))+zz ((zρ)^2) (-6 ϵ+((zρ)^2) (1+ϵ-2 (ϵ^2)))+(zz^3) (6 ϵ+((zρ)^2) (-2+ϵ (-2+13 ϵ))))/((1+((zρ)^2) (-1+ϵ)) (-1+(zz^2) (1+2 ϵ)) ((zz^4) (((-1+ϵ))^2)-12 ((zρ)^2) ϵ+((zρ)^4) (((1+2 ϵ))^2)+2 (zz^2) (6 ϵ+((zρ)^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ))))+((-(zz^2) ((zρ)^2) ((zz^2) (((-1+ϵ))^2)+18 ϵ)+((zρ)^6) (-1+2 (-5+ϵ) ϵ)+2 ((zρ)^4) (9 ϵ+(zz^2) (1+(4-5 ϵ) ϵ))) A[((2 ((zρ)^2)+(zz^2) (-2-((zρ)^2) (-1+ϵ))-((zρ)^4) (1+2 ϵ))/(2 (zz^2) (1+((zρ)^2) (-1+ϵ)))),((((zρ)^8) (((1+2 ϵ))^2)+(zz^2) ((zρ)^4) ((zz^2) (((-1+ϵ))^2)+12 ϵ)+2 ((zρ)^6) (-6 ϵ+(zz^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ)))/(4 (zz^4) (((1+((zρ)^2) (-1+ϵ)))^2)))])/(2 zz (((1+((zρ)^2) (-1+ϵ)))^2) ((zz^4) (((-1+ϵ))^2)-12 ((zρ)^2) ϵ+((zρ)^4) (((1+2 ϵ))^2)+2 (zz^2) (6 ϵ+((zρ)^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ))))+(((Sqrt[1-ϵ])-(Sqrt[1+2 ϵ])) (12 (zz^2) ϵ+((zρ)^6) (((-1+ϵ))^2) (1+2 ϵ)+((zρ)^2) (-(zz^4) (((-1+ϵ))^3)-12 ϵ+3 (zz^2) (-1+ϵ) ϵ)+((zρ)^4) (3 ϵ (1+2 ϵ)-(zz^2) (2-3 ϵ+(ϵ^3)))) A[((-(zz^2) (((-1+ϵ))^2)-6 ϵ+((zρ)^2) (1+ϵ-2 (ϵ^2)))/(2 (1+((zρ)^2) (-1+ϵ)) (1+2 ϵ))),(((((-1+ϵ))^2) ((((Sqrt[1-ϵ])-(Sqrt[1+2 ϵ])))^4) ((zz^4) (((-1+ϵ))^2)-12 ((zρ)^2) ϵ+((zρ)^4) (((1+2 ϵ))^2)+2 (zz^2) (6 ϵ+((zρ)^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ))))/(4 (((1+((zρ)^2) (-1+ϵ)))^2) (((-1-2 ϵ+(Sqrt[1+ϵ-2 (ϵ^2)])))^4)))])/(2 (((1+((zρ)^2) (-1+ϵ)))^2) (-1-2 ϵ+(Sqrt[1+ϵ-2 (ϵ^2)])) ((zz^4) (((-1+ϵ))^2)-12 ((zρ)^2) ϵ+((zρ)^4) (((1+2 ϵ))^2)+2 (zz^2) (6 ϵ+((zρ)^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ))))+(zz (24 (zz^4) ϵ+(zz^2) ((zρ)^2) (-(zz^4) (((-1+ϵ))^3)-48 ϵ+24 (zz^2) (-1+ϵ) ϵ)+3 ((zρ)^4) (8 ϵ+8 (zz^2) ϵ (2+ϵ)+(zz^4) (((-1+ϵ))^2) (-1+4 ϵ))+((zρ)^8) (-1+4 ϵ (3-2 (-3+ϵ) ϵ))+3 ((zρ)^6) (-8 ϵ (1+2 ϵ)+(zz^2) (1-9 ϵ+8 (ϵ^3)))) B[((2 ((zρ)^2)+(zz^2) (-2-((zρ)^2) (-1+ϵ))-((zρ)^4) (1+2 ϵ))/(2 (zz^2) (1+((zρ)^2) (-1+ϵ)))),((((zρ)^8) (((1+2 ϵ))^2)+(zz^2) ((zρ)^4) ((zz^2) (((-1+ϵ))^2)+12 ϵ)+2 ((zρ)^6) (-6 ϵ+(zz^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ)))/(4 (zz^4) (((1+((zρ)^2) (-1+ϵ)))^2)))])/((1+((zρ)^2) (-1+ϵ)) (((((zρ)^5) (((1+2 ϵ))^2)+(zz^2) zρ ((zz^2) (((-1+ϵ))^2)+12 ϵ)+2 ((zρ)^3) (-6 ϵ+(zz^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ))))^2))+((-1-2 ϵ+(Sqrt[1+ϵ-2 (ϵ^2)])) ((zz^6) ((zρ)^2) (((-1+ϵ))^4)+12 ((zρ)^4) (1-7 ϵ) ϵ+3 ((zρ)^6) ϵ (1-8 (-2+ϵ) ϵ)-((zρ)^8) (((1+ϵ-2 (ϵ^2)))^2)+3 (zz^2) ((zρ)^2) (((zρ)^4) (((-1+ϵ))^2) (1+2 ϵ)+8 ϵ (-1+4 ϵ)+2 ((zρ)^2) (-1+ϵ) ϵ (1+8 ϵ))+3 (zz^4) (-1+ϵ) (-4 ϵ+((zρ)^2) (-1+ϵ) (ϵ+((zρ)^2) (-1+(ϵ^2))))) B[((-(zz^2) (((-1+ϵ))^2)-6 ϵ+((zρ)^2) (1+ϵ-2 (ϵ^2)))/(2 (1+((zρ)^2) (-1+ϵ)) (1+2 ϵ))),(((((-1+ϵ))^2) ((((Sqrt[1-ϵ])-(Sqrt[1+2 ϵ])))^4) ((zz^4) (((-1+ϵ))^2)-12 ((zρ)^2) ϵ+((zρ)^4) (((1+2 ϵ))^2)+2 (zz^2) (6 ϵ+((zρ)^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ))))/(4 (((1+((zρ)^2) (-1+ϵ)))^2) (((-1-2 ϵ+(Sqrt[1+ϵ-2 (ϵ^2)])))^4)))])/((1+((zρ)^2) (-1+ϵ)) (-1+ϵ) ((Sqrt[1-ϵ])-(Sqrt[1+2 ϵ])) ((((zz^4) (((-1+ϵ))^2)-12 ((zρ)^2) ϵ+((zρ)^4) (((1+2 ϵ))^2)+2 (zz^2) (6 ϵ+((zρ)^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ))))^2))

Disorder correction to the chemical potential (Subscript[Δ, μ])

(Subscript[Δ, μ])[ϵ_, zz_, zρ_] := (2 ((zz^5) (((-1+ϵ))^2) (1+2 ϵ)+(zz^4) (-1+ϵ) (((1+2 ϵ))^(3/2))+((zρ)^2) (Sqrt[1+2 ϵ]) (6 ϵ+((zρ)^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ))+(zz^3) (9 ϵ (1+ϵ)+((zρ)^2) (-1+ϵ) (2+ϵ) (1+2 ϵ))+(zz^2) (Sqrt[1+2 ϵ]) (-6 ϵ+((zρ)^2) (2+(2-13 ϵ) ϵ))+zz ((zρ)^2) (-9 ϵ+((zρ)^2) (1+3 ϵ-4 (ϵ^3)))))/((1+((zρ)^2) (-1+ϵ)) (-1+(zz^2) (1+2 ϵ)) ((zz^4) (((-1+ϵ))^2)-12 ((zρ)^2) ϵ+((zρ)^4) (((1+2 ϵ))^2)+2 (zz^2) (6 ϵ+((zρ)^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ))))+((-(zz^4) (2+((zρ)^2) (-1+ϵ)) (((-1+ϵ))^2)+24 ((zρ)^2) ϵ+((zρ)^6) (((-1+ϵ))^2) (1+2 ϵ)+((zρ)^4) (-2+ϵ (-17+10 ϵ))+(zz^2) (-24 ϵ-((zρ)^2) (-1+ϵ) (4+17 ϵ)-((zρ)^4) (2-3 ϵ+(ϵ^3)))) A[((2 ((zρ)^2)+(zz^2) (-2-((zρ)^2) (-1+ϵ))-((zρ)^4) (1+2 ϵ))/(2 (zz^2) (1+((zρ)^2) (-1+ϵ)))),((((zρ)^8) (((1+2 ϵ))^2)+(zz^2) ((zρ)^4) ((zz^2) (((-1+ϵ))^2)+12 ϵ)+2 ((zρ)^6) (-6 ϵ+(zz^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ)))/(4 (zz^4) (((1+((zρ)^2) (-1+ϵ)))^2)))])/(zz (((1+((zρ)^2) (-1+ϵ)))^2) ((zz^4) (((-1+ϵ))^2)-12 ((zρ)^2) ϵ+((zρ)^4) (((1+2 ϵ))^2)+2 (zz^2) (6 ϵ+((zρ)^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ))))-((-1+ϵ) ((Sqrt[1-ϵ])-(Sqrt[1+2 ϵ])) ((zz^4) (2+((zρ)^2) (-1+ϵ)) (((-1+ϵ))^2)-30 ((zρ)^2) ϵ+((zρ)^6) (-1+ϵ) (((1+2 ϵ))^2)+((zρ)^4) (2+2 (13-5 ϵ) ϵ)+2 (zz^2) (15 ϵ+((zρ)^2) (-1+ϵ) (2+13 ϵ+((zρ)^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ)))) A[((-(zz^2) (((-1+ϵ))^2)-6 ϵ+((zρ)^2) (1+ϵ-2 (ϵ^2)))/(2 (1+((zρ)^2) (-1+ϵ)) (1+2 ϵ))),(((((-1+ϵ))^2) ((((Sqrt[1-ϵ])-(Sqrt[1+2 ϵ])))^4) ((zz^4) (((-1+ϵ))^2)-12 ((zρ)^2) ϵ+((zρ)^4) (((1+2 ϵ))^2)+2 (zz^2) (6 ϵ+((zρ)^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ))))/(4 (((1+((zρ)^2) (-1+ϵ)))^2) (((-1-2 ϵ+(Sqrt[1+ϵ-2 (ϵ^2)])))^4)))])/((((1+((zρ)^2) (-1+ϵ)))^2) (-1-2 ϵ+(Sqrt[1+ϵ-2 (ϵ^2)])) ((zz^4) (((-1+ϵ))^2)-12 ((zρ)^2) ϵ+((zρ)^4) (((1+2 ϵ))^2)+2 (zz^2) (6 ϵ+((zρ)^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ))))-(2 zz ((zz^6) (2+((zρ)^2) (-1+ϵ)) (((-1+ϵ))^3)+36 ((zρ)^4) ϵ (-1+3 ϵ)-((zρ)^8) (((1+ϵ-2 (ϵ^2)))^2)+3 (zz^2) ((zρ)^2) (24 (1-2 ϵ) ϵ+((zρ)^2) (-1+ϵ) (2+2 (9-16 ϵ) ϵ+((zρ)^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ)))+((zρ)^6) (2+ϵ (27+8 ϵ (-12+5 ϵ)))+3 (zz^4) (-1+ϵ) (12 ϵ+((zρ)^2) (-1+ϵ) (2+9 ϵ+((zρ)^2) (-1+(ϵ^2))))) B[((2 ((zρ)^2)+(zz^2) (-2-((zρ)^2) (-1+ϵ))-((zρ)^4) (1+2 ϵ))/(2 (zz^2) (1+((zρ)^2) (-1+ϵ)))),((((zρ)^8) (((1+2 ϵ))^2)+(zz^2) ((zρ)^4) ((zz^2) (((-1+ϵ))^2)+12 ϵ)+2 ((zρ)^6) (-6 ϵ+(zz^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ)))/(4 (zz^4) (((1+((zρ)^2) (-1+ϵ)))^2)))])/(((zρ)^2) (1+((zρ)^2) (-1+ϵ)) ((((zz^4) (((-1+ϵ))^2)-12 ((zρ)^2) ϵ+((zρ)^4) (((1+2 ϵ))^2)+2 (zz^2) (6 ϵ+((zρ)^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ))))^2))+(2 (-1-2 ϵ+(Sqrt[1+ϵ-2 (ϵ^2)])) ((zz^6) (2+((zρ)^2) (-1+ϵ)) (((-1+ϵ))^4)-144 ((zρ)^2) (ϵ^2)+((zρ)^8) (((-1+ϵ))^2) (((1+2 ϵ))^3)-2 ((zρ)^6) (-1+ϵ) (1+2 ϵ) (-1+8 (-2+ϵ) ϵ)+6 ((zρ)^4) ϵ (7+22 ϵ-20 (ϵ^2))+3 (zz^4) (((-1+ϵ))^2) (14 ϵ+((zρ)^2) (-1+ϵ) (2+12 ϵ+((zρ)^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ)))+3 (zz^2) (48 (ϵ^2)+((zρ)^2) (-1+ϵ) (4 ϵ (7+11 ϵ)+((zρ)^4) (((1+ϵ-2 (ϵ^2)))^2)+2 ((zρ)^2) (-1+ϵ) (1+4 ϵ (3+2 ϵ))))) B[((-(zz^2) (((-1+ϵ))^2)-6 ϵ+((zρ)^2) (1+ϵ-2 (ϵ^2)))/(2 (1+((zρ)^2) (-1+ϵ)) (1+2 ϵ))),(((((-1+ϵ))^2) ((((Sqrt[1-ϵ])-(Sqrt[1+2 ϵ])))^4) ((zz^4) (((-1+ϵ))^2)-12 ((zρ)^2) ϵ+((zρ)^4) (((1+2 ϵ))^2)+2 (zz^2) (6 ϵ+((zρ)^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ))))/(4 (((1+((zρ)^2) (-1+ϵ)))^2) (((-1-2 ϵ+(Sqrt[1+ϵ-2 (ϵ^2)])))^4)))])/((1+((zρ)^2) (-1+ϵ)) (-1+ϵ) ((Sqrt[1-ϵ])-(Sqrt[1+2 ϵ])) ((((zz^4) (((-1+ϵ))^2)-12 ((zρ)^2) ϵ+((zρ)^4) (((1+2 ϵ))^2)+2 (zz^2) (6 ϵ+((zρ)^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ))))^2))+((8 T[((-zz+zρ)/(zz+zρ))])/(zz+zρ))

Disorder correction to the superfluid density is given in terms of the condensate depletion and the integral (Subscript[I, sd]), Eq. (63)

(Subscript[I, sd])[ϵ_, zz_, zρ_] := -(-2 ((zρ)^2) (8 ((Sqrt[1-ϵ])-(Sqrt[1+2 ϵ]))+ϵ (20 (Sqrt[1-ϵ])+8 (Sqrt[1-ϵ]) ϵ-8 (Sqrt[1+2 ϵ])+7 ϵ (Sqrt[1+2 ϵ])))+(zz^4) (-1+ϵ) (8 ((Sqrt[1-ϵ])-(Sqrt[1+2 ϵ]))+ϵ (20 (Sqrt[1-ϵ])+8 (Sqrt[1-ϵ]) ϵ-8 (Sqrt[1+2 ϵ])+7 ϵ (Sqrt[1+2 ϵ])))+(zz^2) (2+((zρ)^2) (1+2 ϵ)) (8 ((Sqrt[1-ϵ])-(Sqrt[1+2 ϵ]))+ϵ (20 (Sqrt[1-ϵ])+8 (Sqrt[1-ϵ]) ϵ-8 (Sqrt[1+2 ϵ])+7 ϵ (Sqrt[1+2 ϵ])))+(zz^3) (-1-5 ϵ) (8 (-1+(Sqrt[1+ϵ-2 (ϵ^2)]))+ϵ (-8+7 ϵ+4 (Sqrt[1+ϵ-2 (ϵ^2)])))+zz ((zρ)^2) (1+2 ϵ) (8 (-1+(Sqrt[1+ϵ-2 (ϵ^2)]))+ϵ (-8+7 ϵ+4 (Sqrt[1+ϵ-2 (ϵ^2)]))))/((-1+(zz^2) (1+2 ϵ)) ((zz^4) (((-1+ϵ))^2)-12 ((zρ)^2) ϵ+((zρ)^4) (((1+2 ϵ))^2)+2 (zz^2) (6 ϵ+((zρ)^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ))) (8 (-1+(Sqrt[1+ϵ-2 (ϵ^2)]))+ϵ (-8+7 ϵ+4 (Sqrt[1+ϵ-2 (ϵ^2)]))))+((((zz^2) ((zρ)^2) (1-ϵ)+((zρ)^4) (-1+4 ϵ)) A[((2 ((zρ)^2)+(zz^2) (-2-((zρ)^2) (-1+ϵ))-((zρ)^4) (1+2 ϵ))/(2 (zz^2) (1+((zρ)^2) (-1+ϵ)))),((((zρ)^8) (((1+2 ϵ))^2)+(zz^2) ((zρ)^4) ((zz^2) (((-1+ϵ))^2)+12 ϵ)+2 ((zρ)^6) (-6 ϵ+(zz^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ)))/(4 (zz^4) (((1+((zρ)^2) (-1+ϵ)))^2)))])/(2 zz (1+((zρ)^2) (-1+ϵ)) ((zz^4) (((-1+ϵ))^2)-12 ((zρ)^2) ϵ+((zρ)^4) (((1+2 ϵ))^2)+2 (zz^2) (6 ϵ+((zρ)^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ)))))+((-1+ϵ) ((Sqrt[1-ϵ])-(Sqrt[1+2 ϵ])) (-2 ((zρ)^2)+(zz^2) (2+((zρ)^2) (-1+ϵ))+((zρ)^4) (1+2 ϵ)) A[((-(zz^2) (((-1+ϵ))^2)-6 ϵ+((zρ)^2) (1+ϵ-2 (ϵ^2)))/(2 (1+((zρ)^2) (-1+ϵ)) (1+2 ϵ))),(((((-1+ϵ))^2) ((((Sqrt[1-ϵ])-(Sqrt[1+2 ϵ])))^4) ((zz^4) (((-1+ϵ))^2)-12 ((zρ)^2) ϵ+((zρ)^4) (((1+2 ϵ))^2)+2 (zz^2) (6 ϵ+((zρ)^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ))))/(4 (((1+((zρ)^2) (-1+ϵ)))^2) (((-1-2 ϵ+(Sqrt[1+ϵ-2 (ϵ^2)])))^4)))])/(2 (1+((zρ)^2) (-1+ϵ)) (-1-2 ϵ+(Sqrt[1+ϵ-2 (ϵ^2)])) ((zz^4) (((-1+ϵ))^2)-12 ((zρ)^2) ϵ+((zρ)^4) (((1+2 ϵ))^2)+2 (zz^2) (6 ϵ+((zρ)^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ))))+(zz (4 ((zρ)^4) (-1+ϵ)+2 (zz^2) ((zρ)^2) (-4+3 ((zρ)^2)) (-1+ϵ)+(zz^4) (4+3 ((zρ)^2) (-1+ϵ)) (-1+ϵ)+((zρ)^6) (3-12 (ϵ^2))) B[((2 ((zρ)^2)+(zz^2) (-2-((zρ)^2) (-1+ϵ))-((zρ)^4) (1+2 ϵ))/(2 (zz^2) (1+((zρ)^2) (-1+ϵ)))),((((zρ)^8) (((1+2 ϵ))^2)+(zz^2) ((zρ)^4) ((zz^2) (((-1+ϵ))^2)+12 ϵ)+2 ((zρ)^6) (-6 ϵ+(zz^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ)))/(4 (zz^4) (((1+((zρ)^2) (-1+ϵ)))^2)))])/(((((zρ)^5) (((1+2 ϵ))^2)+(zz^2) zρ ((zz^2) (((-1+ϵ))^2)+12 ϵ)+2 ((zρ)^3) (-6 ϵ+(zz^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ))))^2)+((1+2 ϵ-(Sqrt[1+ϵ-2 (ϵ^2)])) ((zz^4) (2+((zρ)^2) (-1+ϵ)) (((-1+ϵ))^2)+2 (zz^2) ((zρ)^2) (((-1+ϵ))^2) (-2+((zρ)^2) (1+2 ϵ))+((zρ)^4) (2+((zρ)^2) (-1+ϵ) (((1+2 ϵ))^2)+4 ϵ (-1+5 ϵ))) B[((-(zz^2) (((-1+ϵ))^2)-6 ϵ+((zρ)^2) (1+ϵ-2 (ϵ^2)))/(2 (1+((zρ)^2) (-1+ϵ)) (1+2 ϵ))),(((((-1+ϵ))^2) ((((Sqrt[1-ϵ])-(Sqrt[1+2 ϵ])))^4) ((zz^4) (((-1+ϵ))^2)-12 ((zρ)^2) ϵ+((zρ)^4) (((1+2 ϵ))^2)+2 (zz^2) (6 ϵ+((zρ)^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ))))/(4 (((1+((zρ)^2) (-1+ϵ)))^2) (((-1-2 ϵ+(Sqrt[1+ϵ-2 (ϵ^2)])))^4)))])/((-1+ϵ) ((Sqrt[1-ϵ])-(Sqrt[1+2 ϵ])) ((((zz^4) (((-1+ϵ))^2)-12 ((zρ)^2) ϵ+((zρ)^4) (((1+2 ϵ))^2)+2 (zz^2) (6 ϵ+((zρ)^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ))))^2))

Disorder correction to the sound velocity is given in terms of disorder corrections to the supefluid density and the inverse compressibility (Subscript[Δ, dμdn]), Eq. (72)

(Subscript[Δ, dμdn])[ϵ_, zz_, zρ_] := (((2+ϵ-2 (Sqrt[1+ϵ-2 (ϵ^2)])) (((-1-2 ϵ+(Sqrt[1+ϵ-2 (ϵ^2)])))^2) (32 (-1+(Sqrt[1+ϵ-2 (ϵ^2)]))+ϵ (-48+32 (Sqrt[1+ϵ-2 (ϵ^2)])+ϵ (30+23 ϵ-10 (Sqrt[1+ϵ-2 (ϵ^2)])))) (-(zz^14) (-1+2 ((zρ)^2) (-1+ϵ)) (((-1+ϵ))^3) (((1+2 ϵ))^2)+3 ((zρ)^8) (72 (ϵ^2)+((zρ)^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ) (24 ϵ+((zρ)^2) (-1+10 ϵ (-1+2 ϵ))))+3 (zz^12) (-1+ϵ) (1+2 ϵ) (-1+7 ϵ (2+5 ϵ)+((zρ)^2) (-1+ϵ) (2+2 ϵ (-1+9 ϵ)+((zρ)^2) (-1+ϵ) (-4+ϵ (-8+9 ϵ))))-(zz^2) ((zρ)^6) (864 (ϵ^2)+2 ((zρ)^8) (((-1+ϵ))^2) (((1+2 ϵ))^4)+((zρ)^6) (-1+ϵ) (((1+2 ϵ))^2) (-1+7 ϵ (2+11 ϵ))+36 ((zρ)^2) ϵ (-10+ϵ (-8+39 ϵ))+18 ((zρ)^4) (1+ϵ (7+ϵ (-3+4 ϵ (-7+8 ϵ)))))+3 (zz^10) (24 ϵ-96 (ϵ^3)+2 ((zρ)^6) (((-1+ϵ))^2) (-5-20 ϵ+53 (ϵ^3)+26 (ϵ^4))-((zρ)^4) (-1+ϵ) (-5+ϵ (10+ϵ (-15+ϵ (-88+71 ϵ))))-6 ((zρ)^2) (1+ϵ (-9+ϵ (-29+ϵ (15+76 ϵ)))))-(zz^8) (-216 (ϵ^2)+36 ((zρ)^2) ϵ (10+(2-51 ϵ) ϵ)-2 ((zρ)^6) (-1+ϵ) (-10+ϵ (40+ϵ (120+ϵ (4+89 ϵ))))+((zρ)^8) (-1+ϵ) (1+2 ϵ) (40+ϵ (80+ϵ (-210+ϵ (-250+97 ϵ))))-9 ((zρ)^4) (5+ϵ (-25+2 ϵ (-33+ϵ (44+179 ϵ)))))+3 (zz^4) ((zρ)^4) (432 (ϵ^2)+((zρ)^8) (-1+ϵ) (((1+2 ϵ))^3) (-4+13 (ϵ^2))+12 ((zρ)^2) ϵ (-20+ϵ (-12+101 ϵ))+2 ((zρ)^6) (-1+ϵ) (1+2 ϵ) (-1+ϵ (10+ϵ (58+59 ϵ)))+3 ((zρ)^4) (5+ϵ (15+ϵ (-1+ϵ (-51+212 ϵ)))))-3 (zz^6) ((zρ)^2) (288 (ϵ^2)+12 ((zρ)^2) ϵ (-20+ϵ (-8+109 ϵ))+2 ((zρ)^8) (((1+2 ϵ))^2) (5+(ϵ^2) (-30+ϵ (13+12 ϵ)))+((zρ)^6) (-1+ϵ) (-5+ϵ (30+ϵ (195+ϵ (296+159 ϵ))))+2 ((zρ)^4) (10+ϵ (-10+ϵ (-36+ϵ (71+586 ϵ)))))))/(((Sqrt[1-ϵ])-(Sqrt[1+2 ϵ])) (1+2 ϵ-(Sqrt[1+ϵ-2 (ϵ^2)])) (((8 (-1+(Sqrt[1+ϵ-2 (ϵ^2)]))+ϵ (-8+7 ϵ+4 (Sqrt[1+ϵ-2 (ϵ^2)]))))^2))-zz ((((zz^2)-((zρ)^2)))^2) (-36 ((zρ)^4) (-13+ϵ) (ϵ^2)+(zz^10) (-2+((zρ)^2) (-1+ϵ)) (((-1+ϵ))^4) (((1+2 ϵ))^2)-((zρ)^10) (((-1+ϵ))^2) (((1+2 ϵ))^4)+((zρ)^8) (-1+ϵ) (((1+2 ϵ))^2) (-4+7 ϵ (-7+5 ϵ))+3 ((zρ)^6) ϵ (-32+ϵ (-147+8 ϵ (6+13 ϵ)))+(zz^8) (((-1+ϵ))^2) (1+2 ϵ) (4+((zρ)^4) (((-1+ϵ))^2) (1+2 ϵ) (4+5 ϵ)-2 ϵ (31+52 ϵ)+((zρ)^2) (7+ϵ (12+(9-28 ϵ) ϵ)))+(zz^6) (-3 ((zρ)^6) (2+ϵ) (((1+ϵ-2 (ϵ^2)))^3)-6 ϵ (-16+ϵ (45+ϵ (156+31 ϵ)))+2 ((zρ)^4) (((-1+ϵ))^2) (1+2 ϵ) (-4+ϵ (-15+ϵ (-21+67 ϵ)))+((zρ)^2) (-1+ϵ) (16+ϵ (-109+ϵ (-606+17 ϵ (-26+29 ϵ)))))-(zz^2) ((zρ)^2) (((zρ)^8) (((-1+ϵ))^2) (((1+2 ϵ))^5)+72 (ϵ^2) (13+5 ϵ)+2 ((zρ)^6) (-1+ϵ) (((1+2 ϵ))^3) (1+2 ϵ (-1+5 ϵ))+18 ((zρ)^2) ϵ (-16+ϵ (-34+ϵ (53+24 ϵ)))+((zρ)^4) (1+2 ϵ) (16+ϵ (89+ϵ (-219+ϵ (-217+412 ϵ)))))+(zz^4) (-((zρ)^8) (-4+ϵ) (((-1+ϵ))^2) (((1+2 ϵ))^4)+36 (ϵ^2) (13+11 ϵ)+((zρ)^6) (-1+ϵ) (((1+2 ϵ))^2) (1+5 ϵ) (-2+ϵ (-2+31 ϵ))+9 ((zρ)^2) ϵ (-32+ϵ (11+ϵ (194+43 ϵ)))+3 ((zρ)^4) (8+ϵ (-1+ϵ (-178+ϵ (-188+ϵ (388+133 ϵ))))))))/(((((zz^2)-((zρ)^2)))^2) (((1+((zρ)^2) (-1+ϵ)))^2) (((-1+(zz^2) (1+2 ϵ)))^2) ((((zz^4) (((-1+ϵ))^2)-12 ((zρ)^2) ϵ+((zρ)^4) (((1+2 ϵ))^2)+2 (zz^2) (6 ϵ+((zρ)^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ))))^2))+(((zρ)^2) ((zz^8) (4+((zρ)^2) (-1+ϵ)) (((-1+ϵ))^5)+36 ((zρ)^4) (ϵ^2) (-19+7 ϵ)+((zρ)^10) (((1+ϵ-2 (ϵ^2)))^3)+3 ((zρ)^6) ϵ (32+ϵ (207+4 (3-56 ϵ) ϵ))+(zz^6) (((-1+ϵ))^3) (96 ϵ+((zρ)^2) (-1+ϵ) (16+53 ϵ+((zρ)^2) (-1+ϵ) (4+5 ϵ)))-((zρ)^8) (-1+ϵ) (1+2 ϵ) (-4+ϵ (-45+ϵ (-141+82 ϵ)))+3 (zz^4) (-1+ϵ) (228 (ϵ^2)+((zρ)^2) (-1+ϵ) (3 ϵ (32+69 ϵ)+((zρ)^2) (-1+ϵ) (8+((zρ)^2) (-1+ϵ) (2+ϵ) (1+2 ϵ)+ϵ (53+77 ϵ))))+(zz^2) ((zρ)^2) (72 (19-13 ϵ) (ϵ^2)+((zρ)^2) (-1+ϵ) (-((zρ)^4) (-4+ϵ) (((1+ϵ-2 (ϵ^2)))^2)+18 ϵ (16+ϵ (69+2 ϵ))+((zρ)^2) (-1+ϵ) (16+ϵ (159+462 ϵ+200 (ϵ^2)))))) A[((2 ((zρ)^2)+(zz^2) (-2-((zρ)^2) (-1+ϵ))-((zρ)^4) (1+2 ϵ))/(2 (zz^2) (1+((zρ)^2) (-1+ϵ)))),((((zρ)^8) (((1+2 ϵ))^2)+(zz^2) ((zρ)^4) ((zz^2) (((-1+ϵ))^2)+12 ϵ)+2 ((zρ)^6) (-6 ϵ+(zz^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ)))/(4 (zz^4) (((1+((zρ)^2) (-1+ϵ)))^2)))])/(2 zz (((1+((zρ)^2) (-1+ϵ)))^3) ((((zz^4) (((-1+ϵ))^2)-12 ((zρ)^2) ϵ+((zρ)^4) (((1+2 ϵ))^2)+2 (zz^2) (6 ϵ+((zρ)^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ))))^2))+(((Sqrt[1-ϵ])-(Sqrt[1+2 ϵ])) ((zz^8) ((zρ)^2) (4+((zρ)^2) (-1+ϵ)) (((-1+ϵ))^6)+4 (zz^6) ((zρ)^2) (((-1+ϵ))^4) (27 ϵ+((zρ)^2) (-1+ϵ) (4+17 ϵ+((zρ)^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ)))+2 (zz^2) ((zρ)^2) (-1+ϵ) (216 (ϵ^2)+18 ((zρ)^2) (16-19 ϵ) (ϵ^2)-2 ((zρ)^8) (((1+ϵ-2 (ϵ^2)))^3)-9 ((zρ)^4) (-1+ϵ) ϵ (-18+ϵ (-43+16 ϵ))+((zρ)^6) (((-1+ϵ))^2) (1+2 ϵ) (8+ϵ (86+23 ϵ)))+((zρ)^4) (-216 (-1+ϵ) (ϵ^2)+((zρ)^8) (((-1+ϵ))^3) (((1+2 ϵ))^4)+36 ((zρ)^2) (-1+ϵ) (ϵ^2) (-8+11 ϵ)-((zρ)^6) (((1+ϵ-2 (ϵ^2)))^2) (-4+ϵ (-52+29 ϵ))-9 ((zρ)^4) ϵ (12+ϵ (31-75 ϵ+32 (ϵ^3))))+3 (zz^4) (-1+ϵ) (-72 (ϵ^2)+((zρ)^2) (-1+ϵ) (96 (ϵ^2)+((zρ)^2) (-1+ϵ) (3 ϵ (36+43 ϵ)+2 ((zρ)^4) (((1+ϵ-2 (ϵ^2)))^2)+((zρ)^2) (-1+ϵ) (8+ϵ (68+65 ϵ)))))) A[((-(zz^2) (((-1+ϵ))^2)-6 ϵ+((zρ)^2) (1+ϵ-2 (ϵ^2)))/(2 (1+((zρ)^2) (-1+ϵ)) (1+2 ϵ))),(((((-1+ϵ))^2) ((((Sqrt[1-ϵ])-(Sqrt[1+2 ϵ])))^4) ((zz^4) (((-1+ϵ))^2)-12 ((zρ)^2) ϵ+((zρ)^4) (((1+2 ϵ))^2)+2 (zz^2) (6 ϵ+((zρ)^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ))))/(4 (((1+((zρ)^2) (-1+ϵ)))^2) (((-1-2 ϵ+(Sqrt[1+ϵ-2 (ϵ^2)])))^4)))])/(2 (((1+((zρ)^2) (-1+ϵ)))^3) (-1-2 ϵ+(Sqrt[1+ϵ-2 (ϵ^2)])) ((((zz^4) (((-1+ϵ))^2)-12 ((zρ)^2) ϵ+((zρ)^4) (((1+2 ϵ))^2)+2 (zz^2) (6 ϵ+((zρ)^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ))))^2))+(zz ((zz^10) ((zρ)^2) (4+((zρ)^2) (-1+ϵ)) (((-1+ϵ))^6)+(zz^8) ((zρ)^2) (((-1+ϵ))^4) (120 ϵ+((zρ)^2) (-1+ϵ) (20+67 ϵ+((zρ)^2) (-1+ϵ) (5+7 ϵ)))+(zz^2) ((zρ)^4) (-1296 (-1+ϵ) (ϵ^2)+((zρ)^8) (-5+2 ϵ) (((1+ϵ-2 (ϵ^2)))^3)+108 ((zρ)^2) (ϵ^2) (-3+ϵ (-44+35 ϵ))+3 ((zρ)^4) (-1+ϵ) ϵ (160+ϵ (-255+8 ϵ (-219+25 ϵ)))-((zρ)^6) (((-1+ϵ))^2) (1+2 ϵ) (-20+ϵ (-228+ϵ (705+326 ϵ))))+(zz^4) ((zρ)^2) (-1+ϵ) (1296 (ϵ^2)+2 ((zρ)^8) (((-1+ϵ))^3) (5+ϵ) (((1+2 ϵ))^2)-108 ((zρ)^2) (ϵ^2) (3+22 ϵ)-9 ((zρ)^4) (-1+ϵ) ϵ (-80+ϵ (85+292 ϵ))-((zρ)^6) (((-1+ϵ))^2) (-40+ϵ (-402+ϵ (249+868 ϵ))))+(zz^6) (-1+ϵ) (-432 (ϵ^2)+((zρ)^2) (-1+ϵ) (-108 (ϵ^2)+((zρ)^2) (-1+ϵ) (15 (32-17 ϵ) ϵ+((zρ)^2) (-1+ϵ) (40+(268-83 ϵ) ϵ+2 ((zρ)^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ) (5+4 ϵ)))))+((zρ)^6) (432 (-1+ϵ) (ϵ^2)-((zρ)^8) (((-1+ϵ))^3) (((1+2 ϵ))^4)+108 ((zρ)^2) (ϵ^2) (1+(23-12 ϵ) ϵ)+((zρ)^6) (-1+ϵ) (((1+2 ϵ))^2) (-1+4 ϵ) (-4+ϵ (-67+35 ϵ))+3 ((zρ)^4) ϵ (40+ϵ (-85+4 ϵ (-219+10 ϵ (5+16 ϵ)))))) B[((2 ((zρ)^2)+(zz^2) (-2-((zρ)^2) (-1+ϵ))-((zρ)^4) (1+2 ϵ))/(2 (zz^2) (1+((zρ)^2) (-1+ϵ)))),((((zρ)^8) (((1+2 ϵ))^2)+(zz^2) ((zρ)^4) ((zz^2) (((-1+ϵ))^2)+12 ϵ)+2 ((zρ)^6) (-6 ϵ+(zz^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ)))/(4 (zz^4) (((1+((zρ)^2) (-1+ϵ)))^2)))])/((((zρ+((zρ)^3) (-1+ϵ)))^2) ((((zz^4) (((-1+ϵ))^2)-12 ((zρ)^2) ϵ+((zρ)^4) (((1+2 ϵ))^2)+2 (zz^2) (6 ϵ+((zρ)^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ))))^3))-((-1-2 ϵ+(Sqrt[1+ϵ-2 (ϵ^2)])) (-216 (zz^6) (((-1+ϵ))^2) (ϵ^2)+((zρ)^14) (((-1+ϵ))^3) (((1+2 ϵ))^5)+((zρ)^12) (((-1+ϵ))^2) (((1+2 ϵ))^3) (4+(58-35 ϵ) ϵ+5 (zz^2) (((-1+ϵ))^2) (1+2 ϵ))+4 (zz^4) ((zρ)^2) (-1+ϵ) ((zz^6) (((-1+ϵ))^6)+33 (zz^4) (((-1+ϵ))^4) ϵ+216 (zz^2) (((-1+ϵ))^2) (ϵ^2)+54 (ϵ^2) (-3+19 ϵ))+(zz^2) ((zρ)^4) ((zz^8) (((-1+ϵ))^8)+2 (zz^6) (((-1+ϵ))^6) (10+41 ϵ)+54 (zz^2) (((-1+ϵ))^2) (ϵ^2) (48+67 ϵ)+3 (zz^4) (((-1+ϵ))^4) ϵ (176+307 ϵ)-216 (ϵ^2) (3+ϵ (-38+23 ϵ)))+((zρ)^6) (5 (zz^8) (((-1+ϵ))^7) (1+2 ϵ)+216 (ϵ^2) (1+ϵ (-18+5 ϵ))-108 (zz^2) (-1+ϵ) (ϵ^2) (-24+ϵ (-67+7 ϵ))+9 (zz^4) (((-1+ϵ))^3) ϵ (88+ϵ (307+208 ϵ))+(zz^6) (((-1+ϵ))^5) (40+ϵ (328+361 ϵ)))+((zρ)^10) (-1+ϵ) (1+2 ϵ) (10 (zz^4) (((-1+ϵ))^4) (((1+2 ϵ))^2)+(zz^2) (((-1+ϵ))^2) (1+2 ϵ) (20+ϵ (248+11 ϵ))+3 ϵ (44+ϵ (219+2 (93-130 ϵ) ϵ)))+((zρ)^8) (10 (zz^6) (((-1+ϵ))^6) (((1+2 ϵ))^2)+3 (zz^2) (((-1+ϵ))^2) ϵ (11+28 ϵ) (16+ϵ (43+4 ϵ))+(zz^4) (((-1+ϵ))^4) (1+2 ϵ) (40+ϵ (412+259 ϵ))-54 (ϵ^2) (-16+ϵ (-67+2 ϵ (7+30 ϵ))))) B[((-(zz^2) (((-1+ϵ))^2)-6 ϵ+((zρ)^2) (1+ϵ-2 (ϵ^2)))/(2 (1+((zρ)^2) (-1+ϵ)) (1+2 ϵ))),(((((-1+ϵ))^2) ((((Sqrt[1-ϵ])-(Sqrt[1+2 ϵ])))^4) ((zz^4) (((-1+ϵ))^2)-12 ((zρ)^2) ϵ+((zρ)^4) (((1+2 ϵ))^2)+2 (zz^2) (6 ϵ+((zρ)^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ))))/(4 (((1+((zρ)^2) (-1+ϵ)))^2) (((-1-2 ϵ+(Sqrt[1+ϵ-2 (ϵ^2)])))^4)))])/((((1+((zρ)^2) (-1+ϵ)))^2) (-1+ϵ) ((Sqrt[1-ϵ])-(Sqrt[1+2 ϵ])) ((((zz^4) (((-1+ϵ))^2)-12 ((zρ)^2) ϵ+((zρ)^4) (((1+2 ϵ))^2)+2 (zz^2) (6 ϵ+((zρ)^2) (-1+ϵ) (1+2 ϵ))))^3))